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“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 104 — #108
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104 2. ESTAD ´ ISTICA

De la funci´ on de densidad a la funci´ on de distribuci´ on. Conociendo la funci´ on de
densidad f .x; y/, se puede encontrar la funci´ on de distribuci´ on F.x; y/ simplemente
integrando en el caso continuo o sumando en el caso discreto. Para el caso continuo
tenemos
Z x Z y
F.x; y/ D f .u; v/ dv du:
1 1
En el caso discreto se suman todos los valores de f .u; v/ para valores de u menores o
iguales a x, y valores de v menores o iguales a y, es decir,
X X
F.x; y/ D f .u; v/:
ux vy

De la funci´ on de distribuci´ on a la funci´ on de densidad. Rec´ ıprocamente, puede
encontrarse la funci´ on f .x; y/ a partir de F.x; y/ de la siguiente forma: en el caso
continuo sabemos que f .x; y/ y F.x; y/ guardan la relaci´ on
Z x Z y
F.x; y/ D f .u; v/ dv du;
1 1
y por el teorema fundamental del c´ alculo tenemos entonces que
@ 2
f .x; y/ D F.x; y/:
@x @y
En el caso discreto,
f .x; y/ D F.x; y/ F.x ; y /:

Funci´ on de densidad marginal
Sea f .x; y/ la funci´ on de densidad del vector aleatorio continuo .X; Y /. Se define la
funci´ on de densidad marginal de la variable X como la siguiente integral
Z 1
f 1 .x/ D f .x; y/ dy;
1
es decir, se integra simplemente respecto de la variable y para dejar como resultado
una funci´ on que depende ´ unicamente de x. Esta funci´ on resultante es la funci´ on de
densidad marginal de X, y el sub´ ındice 1 indica que se trata de la funci´ on de densidad
marginal de la primera variable aleatoria del vector .X; Y /. De manera completamente
an´ aloga, la funci´ on de densidad marginal de la variable Y se obtiene integrando ahora
respecto de la variable x, es decir,
Z 1
f 2 .y/ D f .x; y/ dx:
1
Nuevamente, el sub´ ındice 2 hace referencia a que esta funci´ on es la funci´ on de densidad
de la segunda variable aleatoria del vector .X; Y /. En general, las funciones f 1 .x/ y
f 2 .y/ son distintas, aunque hay ocasiones en que pueden ser iguales.

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