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“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 100 — #104
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100 2. ESTAD ´ ISTICA

Para una poblaci´ on particular de mujeres podr´ ıamos conformar una tabla con la fre-
cuencia de cada una de estos valores del vector, por ejemplo,
x=y 0 1 2 3 4 5
0 2 5 8 3 2 0
1 10 9 2 0 1 1
EJEMPLO 2.6. Suponga que se cuenta con una poblaci´ on de personas que parti-
cipan en un proceso de elecci´ on. El vector .X.!/; Y.!// puede representar el nivel
econ´ omico y la preferencia electoral de un votante !.
Estudiaremos a continuaci´ on algunas funciones asociadas a vectores aleatorios,
las cuales son an´ alogas al caso unidimensional estudiado antes.

Funci´ on de probabilidad conjunta
Vamos a estudiar primero el caso m´ as sencillo que es el discreto. Consideremos un
vector aleatorio discreto .X; Y / tal que la variable X toma valores en el conjunto
fx 1 ; x 2 ; : : :g, y la variable Y toma valores en fy 1 ; y 2 ; : : :g. La funci´ on de densidad
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del vector .X; Y /, que se denota por f .x; y/, se encuentra definida sobre R y toma
valores en el intervalo Œ0; 1 de acuerdo a la siguiente definici´ on:

P.X D x; Y D y/ si .x; y/ 2 fx 1 ; x 2 ; : : :g fy 1 ; y 2 ; : : :g;
f .x; y/ D
0 otro caso.
Es decir, el n´ umero f .x; y/ es la probabilidad de que la variable X tome el valor
x y al mismo tiempo la variable Y tome el valor y. Tal funci´ on se llama tambi´ en
funci´ on de densidad conjunta de las variables X y Y , y para enfatizar este hecho a
veces se escribe f X;Y .x; y/, pero en general omitiremos los sub´ ındices para hacer la
notaci´ on m´ as corta. Toda funci´ on f .x; y/ de la forma anterior cumple las siguientes dos
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propiedades, e inversamente, toda funci´ on definida sobre R que sea cero excepto en un
conjunto discreto de parejas .x; y/ que cumpla estas propiedades se llama funci´ on de
probabilidad bivariada o conjunta, sin necesidad de contar con dos variables aleatorias
previas que la definan.
a) f .x; y/ 0.
X
b) f .x; y/ D 1.
x;y
EJEMPLO 2.7. Considere el vector aleatorio discreto .X; Y / con funci´ on de densi-
dad dada por la siguiente tabla:
x=y 0 1
1 0.3 0.1
1 0.4 0.2
De este arreglo se entiende que la variable X toma valores en el conjunto f1; 1g,
mientras que Y toma valores en f0; 1g. Adem´ as las probabilidades conjuntas est´ an
dadas por las entradas de la tabla, por ejemplo, P.X D 1; Y D 0/ D 0:3, esto es, la

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