Page 116 - cepe2012.pdf

i i

“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 106 — #110
i i

106 2. ESTAD ´ ISTICA

Las funciones de probabilidad marginales f 1 .x/ y f 2 .y/ son
8
ˆ 8=30 si x D 1;
2 ˆ
<
X 10=30 si x D 2;
f 1 .x/ D f .x; y/ D
ˆ 12=30 si x D 3;
yD1 ˆ
0 en otro caso.
:
y
8
3 < 12=30 si y D 1;
X
f 2 .y/ D f .x; y/ D 18=30 si y D 2;
xD1 : 0 en otro caso.
Estas funciones son funciones de probabilidad univariadas.
Un poco m´ as generalmente, la funci´ on de densidad marginal de la variable X 1 a
partir de la funci´ on de densidad del vector .X 1 ; : : : ; X n / es, en el caso continuo,
Z 1 Z 1
f 1 .x 1 / D f .x 1 ; : : : ; x n / dx 2 dx n :
1 1
De manera an´ aloga se obtiene la funci´ on marginal de cualquiera de las variables que
componen el vector multidimensional. Y tambi´ en de manera an´ aloga se pueden calcular
estas densidades marginales para vectores discretos de cualquier dimensi´ on.

Funci´ on de distribuci´ on marginal
Sea .X; Y / un vector aleatorio, continuo o discreto, con funci´ on de distribuci´ on F.x; y/.
La funci´ on de distribuci´ on marginal de la variable X se define como la funci´ on
F 1 .x/ D lKım F.x; y/;
y!1
y la correspondiente funci´ on de distribuci´ on marginal de la variable Y es la funci´ on
F 2 .y/ D lKım F.x; y/:
x!1
No es dif´ ıcil comprobar que estas funciones de distribuci´ on marginales son efectiva-
mente funciones de distribuci´ on univariadas. Todo lo mencionado en estas ´ ultimas
secciones tiene como objetivo poder enunciar con precisi´ on el concepto de independen-
cia entre variables aleatorias. Veremos a continuaci´ on este importante concepto que
ser´ a una hip´ otesis recurrente en los procedimientos de la estad´ ıstica inferencial.

Independencia de dos variables aleatorias

Sean X y Y dos variables aleatorias discretas o continuas, con funci´ on de distribuci´ on
conjunta F.x; y/ y con funciones de distribuci´ on marginales F 1 .x/ y F 2 .y/. Se dice
que X y Y son independientes si se cumple la identidad
F.x; y/ D F 1 .x/ F 2 .y/;

i i

i i