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“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 102 — #106
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102 2. ESTAD ´ ISTICA

EJEMPLO 2.9. La siguiente funci´ on es una de las funciones de densidad conjunta
m´ as sencillas. Sean a < b, c < d, y defina la funci´ on
1
8
si a < x < b; c < y < d;
<
f .x; y/ D .b a/.d c/
0 otro caso,
:
cuya gr´ afica aparece en la Figura 2.7. Se trata de una funci´ on constante en el rect´ angulo
.a; b/ .c; d/. Esta funci´ on es de densidad pues es no negativa e integra uno sobre
2
2
R . La doble integral sobre R es simplemente el volumen del paralelep´ ıpedo que se
muestra en la Figura 2.7.
f .x; y/

c
a d
y
b
x

FIGURA 2.7. Funci´ on de densidad bivariada uniforme continua.

EJEMPLO 2.10. Comprobaremos que la siguiente funci´ on es de densidad.
x C y si 0 < x; y < 1;

f .x; y/ D
0 otro caso.
2
Claramente f .x; y/ 0 para cualquier .x; y/ 2 R . Resta verificar que la funci´ on
integra uno sobre el plano. El lector puede comprobar que
Z 1 Z 1 Z 1 Z 1 1 1
f .x; y/ dxdy D .x C y/ dxdy D C D 1:
1 1 0 0 2 2
EJEMPLO 2.11. Encontraremos la constante c para que la siguiente funci´ on sea
de densidad.
cxy si 0 < x < y < 1;

f .x; y/ D
0 otro caso.
La constante c debe ser tal que la funci´ on f .x; y/ sea no negativa y que su integral
sobre todo el plano sea uno. De esta ´ ultima condici´ on obtenemos que
Z 1 Z 1 Z 1 Z y Z 1 c c
3
f .x; y/ dxdy D cxy dxdy D y dy D :
1 1 0 0 0 2 8

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