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“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 107 — #111
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4. VECTORES ALEATORIOS 107

para cada uno de los valores de x y y. De la misma manera que en el caso de eventos
independientes en donde tenemos que la ocurrencia de un evento no afecta la pro-
babilidad de ocurrencia del otro, en el caso de independencia de variables aleatorias
tenemos algo an´ alogo: el evento de que una variable aleatoria tome un valor cualquiera
no afecta a la probabilidad de que la otra variable aleatoria tome cualquiera de sus
valores. Si f .x; y/, f 1 .x/ y f 2 .y/ denotan las correspondientes funciones de densidad
o de probabilidad conjunta y marginales, la independencia entre X y Y tambi´ en puede
expresarse de la forma siguiente:
f .x; y/ D f 1 .x/ f 2 .y/;

para cualesquiera valores de x y y.
EJEMPLO 2.14. Sean X y Y dos variables aleatorias discretas con funci´ on de
probabilidad f .x; y/ dada por

1=4 si x; y 2 f0; 1g;
f .x; y/ D
0 otro caso.
Las funciones de probabilidad marginales son

1=2 si x 2 f0; 1g; 1=2 si y 2 f0; 1g;
f 1 .x/ D y f 2 .y/ D
0 otro caso, 0 otro caso.
Por lo tanto f .x; y/ D f 1 .x/f 2 .y/ para cualesquiera n´ umeros reales x y y, y se
concluye entonces que X y Y son independientes.

A continuaci´ on enunciamos sin demostraci´ on un resultado que establece que la
esperanza del producto de dos variables aleatorias independientes es el producto de las
esperanzas.
PROPOSICI ´ ON 2.15. Sean X y Y variables aleatorias independientes y con esperanza
finita. Entonces
E.XY / D E.X/ E.Y /:
En la siguiente secci´ on extenderemos el concepto de independencia de dos va-
riables aleatorias al caso de n variables aleatorias. Esta extensi´ on ser´ a de particular
utilidad en el tratamiento matem´ atico que daremos de la estad´ ıstica.

Independencia de n variables aleatorias
Sea X 1 ; : : : ; X n una colecci´ on de variables aleatorias con funci´ on de distribuci´ on con-
junta F.x 1 ; : : : ; x n /. Suponga que las respectivas funciones de distribuci´ on marginales
son F 1 .x 1 /; : : : ; F n .x n /. Se dice que estas variables aleatorias son independientes si
para cualesquiera n´ umeros reales x 1 ; : : : ; x n se cumple la igualdad
F.x 1 ; : : : ; x n / D F 1 .x 1 / F n .x n /:

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