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“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 108 — #112
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108 2. ESTAD ´ ISTICA

Alternativamente, puede definirse la independencia en t´ erminos de la funci´ on de densi-
dad como sigue
f .x 1 ; : : : ; x n / D f 1 .x 1 / f 2 .x n /:
Nuevamente esta igualdad debe verificarse para cualesquiera valores x 1 , : : :, x n . Puede
demostrarse que las dos condiciones anteriores son equivalentes. En el caso particular
cuando las variables aleatorias son discretas, la condici´ on de independencia se escribe
de la forma siguiente: para cualesquiera n´ umeros x 1 ; : : : ; x n ,
P.X 1 D x 1 ; : : : ; X n D x n / D P.X 1 D x 1 / P.X n D x n /:
EJEMPLO 2.16. Sean X y Y dos variables aleatorias continuas con funci´ on de
densidad conjunta f .x; y/ dada por
x y
e si x; y > 0;
f .x; y/ D
0 otro caso.
Pueden calcularse las funciones de densidad marginales y encontrar que
x y
e si x > 0; e si y > 0;
f 1 .x/ D y f 2 .y/ D
0 otro caso, 0 otro caso.
Se verifica entonces que f .x; y/ D f 1 .x/f 2 .y/ para cualesquiera n´ umeros reales x y
y, y ello demuestra la independencia de las variables X y Y .
Adicionalmente, se dice que un conjunto infinito de variables aleatorias son inde-
pendientes si cualquier subconjunto finito de ellas lo es. Este es el sentido en el que la
sucesi´ on infinita de variables aleatorias debe entenderse, por ejemplo, en el enunciado
del teorema central del l´ ımite o la ley de los grandes n´ umeros.

Covarianza
Sean X y Y dos variables aleatorias con esperanza finita y con funci´ on de densidad
o de probabilidad conjunta f .x; y/. La covarianza entre X y Y es un n´ umero que se
denota por Cov.X; Y / y se define como la esperanza de la variable aleatoria .X
E.X//.Y E.Y //.
DEFINICI ´ ON 2.17. La covarianza entre las variables aleatorias X y Y es el n´ umero
Cov.X; Y / D EŒ.X E.X//.Y E.Y //:

Como veremos m´ as adelante, la covarianza est´ a estrechamente relacionada con otro
concepto que se define para dos variables aleatorias llamado coeficiente de correlaci´ on,
y para el cual se cuenta con una interpretaci´ on bastante clara. Dejaremos entonces la
interpretaci´ on de la covarianza en t´ erminos del coeficiente de correlaci´ on. Explicaremos
ahora la forma de calcular la covarianza seg´ un la definici´ on anterior. Cuando X y Y
son variables aleatorias discretas la covarianza se calcula de la forma siguiente
X
Cov.X; Y / D .x E.X//.y E.Y // f .x; y/;
x;y

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