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“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 103 — #107
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4. VECTORES ALEATORIOS 103

Por lo tanto c D 8.

Funci´ on de distribuci´ on conjunta
Adem´ as de la funci´ on de densidad, existe la funci´ on de distribuci´ on para un vector
.X; Y /, sea ´ este discreto o continuo, y su definici´ on es muy semejante al caso unidi-
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mensional. La funci´ on de distribuci´ on del vector .X; Y /, denotada por F.x; y/ W R !
Œ0; 1, se define para cualquier par de n´ umeros reales .x; y/ como sigue:
F.x; y/ D P.X x; Y y/:
La peque˜ na coma que aparece en el lado derecho de esta igualdad significa la intersec-
ci´ on de los eventos .X x/ y .Y y/, es decir, el n´ umero F.x; y/ es la probabilidad
del evento .X x/ \ .Y y/. M´ as precisamente, esta funci´ on debe escribirse como
F X;Y .x; y/, pero omitiremos los sub´ ındices para mantener la notaci´ on simple. Siempre
asociaremos la variable X con el valor x, y la variable Y con el valor y. A esta funci´ on
se le conoce tambi´ en con el nombre de funci´ on de acumulaci´ on de probabilidad del
vector .X; Y /, y tambi´ en se dice que es la funci´ on de distribuci´ on conjunta de las
variables X y Y . Enunciamos a continuaci´ on algunas propiedades que cumple toda
funci´ on de distribuci´ on conjunta.
1. lKım F.x; y/ D 1.
x;y!1
2. lKım F.x; y/ D 0. Mismo resultado cuando y tiende a menos infinito.
x!1
3. F.x; y/ es continua por la derecha en cada variable.
4. F.x; y/ es una funci´ on mon´ otona no decreciente en cada variable.
5. Para cualesquiera n´ umeros a < b, y c < d, se cumple la desigualdad
F.b; d/ F.a; d/ F.b; c/ C F.a; c/ 0:
Observe que las primeras cuatro propiedades son an´ alogas al caso unidimensional,
y puede comprobarse geom´ etricamente que la quinta propiedad corresponde a la
probabilidad del evento .a < X b/ \ .c < Y d/. Rec´ ıprocamente, decimos que
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una funci´ on F.x; y/ W R ! Œ0; 1 es una funci´ on de distribuci´ on conjunta o bivariada
si satisface las anteriores cinco propiedades. En el caso continuo supondremos que la
funci´ on de distribuci´ on bivariada F.x; y/ puede expresarse de la siguiente forma:
Z x Z y
F.x; y/ D f .u; v/ dv du;
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en donde f .x; y/ es una funci´ on no negativa y corresponde a la funci´ on de densidad
bivariada asociada. El concepto de funci´ on de distribuci´ on bivariada puede extenderse
al caso de vectores multidimensionales de la siguiente forma: la funci´ on de distribuci´ on
n
del vector aleatorio .X 1 ; : : : ; X n / es la funci´ on F.x 1 ; : : : ; x n / W R ! Œ0; 1 dada por
F.x 1 ; : : : ; x n / D P.X 1 x 1 ; : : : ; X n x n /:
Las funciones F.x; y/ y f .x; y/ son equivalentes y en nuestro caso es siempre po-
sible encontrar una a partir de la otra. Explicaremos este procedimiento a continuaci´ on.

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