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“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 101 — #105
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4. VECTORES ALEATORIOS 101

probabilidad de que X tome el valor 1 y al mismo tiempo Y tome el valor 0 es 0.3.
La misma informaci´ on puede escribirse de la siguiente manera

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ˆ 0:3 si x D 1; y D 0;
ˆ
ˆ
ˆ 0:1 si x D 1; y D 1;
ˆ
<
f .x; y/ D P.X D x; Y D y/ D 0:4 si x D 1; y D 0;
ˆ
ˆ 0:2 si x D 1; y D 1;
ˆ
ˆ
ˆ
0 otro caso.
:
Como todos estos valores son probabilidades, naturalmente son no negativos y todos
ellos suman uno. Por lo tanto, f .x; y/ es efectivamente una funci´ on de probabilidad
bivariada.
EJEMPLO 2.8. Encontraremos la constante c que hace a la siguiente una funci´ on
de probabilidad conjunta.

cxy si .x; y/ 2 f1; 2g f1; 2g;
f .x; y/ D
0 otro caso.
Los posible valores del vector .X; Y / son .1; 1/, .1; 2/, .2; 1/ y .2; 2/, con probabilida-
des respectivas c, 2c, 2c y 4c. Como la suma de estas probabilidades debe ser uno, se
llega a la ecuaci´ on 9c D 1, de donde se obtiene que c D 1=9. Se deja como ejercicio
al lector el graficar esta funci´ on.

Funci´ on de densidad conjunta
Veamos ahora la situaci´ on en el caso continuo. Sea .X; Y / un vector aleatorio continuo.
2
Se dice que la funci´ on integrable y no negativa f .x; y/ W R ! Œ0; 1/ es la funci´ on
2
de densidad del vector .X; Y / si para todo par .x; y/ en R se cumple la igualdad
Z x Z y
P.X x; Y y/ D f .u; v/ dv du:
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Esta doble integral representa el volumen bajo la superficie dada por la funci´ on f .u; v/
sobre la regi´ on que se encuentra a la izquierda y abajo del punto .x; y/. Toda funci´ on
de densidad f .x; y/ de estas caracter´ ısticas satisface las siguientes dos propiedades
que son an´ alogas al caso discreto.
a) f .x; y/ 0.
Z 1 Z 1
b) f .x; y/ dx dy D 1.
1 1
2
Rec´ ıprocamente, decimos que una funci´ on f .x; y/ W R ! Œ0; 1/ es una funci´ on de
densidad conjunta o bivariada si cumple con las dos condiciones arriba mencionadas.

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