Page 115 - cepe2012.pdf

i i

“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 105 — #109
i i

4. VECTORES ALEATORIOS 105

EJEMPLO 2.12. Sea .X; Y / un vector aleatorio continuo con funci´ on de densidad
f .x; y/ dada por

4xy si x; y 2 .0; 1/;
f .x; y/ D
0 otro caso.
Es sencillo verificar que esta funci´ on es efectivamente una funci´ on de densidad bivaria-
da pues es no negativa e integra uno,
Z 1 Z 1 Z 1 Z 1 1 1
f .x; y/ dxdy D 4xy dxdy D 4 D 1:
1 1 0 0 2 2
Calcularemos ahora las funciones de densidad marginales f 1 .x/ y f 2 .y/. Para x 2
.0; 1/,
Z 1 Z 1
f 1 .x/ D f .x; y/ dy D 4xy dy D 2x:
1 0
Por lo tanto,

2x si x 2 .0; 1/;
f 1 .x/ D
0 otro caso.
De manera an´ aloga, o por simetr´ ıa,

2y si y 2 .0; 1/;
f 2 .y/ D
0 otro caso.
Es inmediato comprobar que estas funciones son funciones de densidad univariadas.
Observe que en este caso particular se cumple la identidad f .x; y/ D f 1 .x/f 2 .y/,
lo cual est´ a relacionado con el importante concepto de independencia de v.a.s que
mencionaremos m´ as adelante.

La definici´ on de funci´ on de densidad (o probabilidad) marginal para vectores
discretos involucra una suma en lugar de la integral, por ejemplo,
X
f 1 .x/ D f .x; y/;
y
de manera an´ aloga se define la funci´ on de densidad (o probabilidad) marginal f 2 .y/.
Es sencillo verificar que estas funciones de densidad marginales, tanto en el caso
discreto como en el continuo, son efectivamente funciones de densidad (o probabilidad)
univariadas.
EJEMPLO 2.13. Sea .X;Y / un vector aleatorio discreto con funci´ on de probabili-
dad f.x;y/ dada por

.x C 2y/=30 si .x; y/ 2 f1; 2; 3g f1; 2g;
f .x; y/ D
0 otro caso.
No es dif´ ıcil comprobar que esta funci´ on es una funci´ on de probabilidad bivariada, es
decir, es no negativa y suma uno,
3 2
X X x C 2y
D 1:
30
xD1 yD1

i i

i i