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“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 109 — #113
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4. VECTORES ALEATORIOS 109

en donde, observe, la suma es doble, se suma sobre todos los posibles valores x y
tambi´ en sobre todos los posibles valores y. En el caso cuando las variables aleatorias
son continuas se tiene que
Z 1 Z 1
Cov.X; Y / D .x E.X//.y E.Y // f .x; y/ dxdy:
1 1
Mencionaremos a continuaci´ on algunas propiedades generales de la covarianza. Desa-
rrollando el producto que aparece en la definici´ on de covarianza y aplicando la linea-
lidad de la esperanza se encuentra que la covarianza puede calcularse tambi´ en como
indica la siguiente f´ ormula:
Cov.X; Y / D E.XY / E.X/E.Y /:
Por otro lado, a partir de la definici´ on misma de covarianza, o a partir de la f´ ormu-
la reci´ en enunciada, es inmediato observar que la covarianza es sim´ etrica, es decir,
Cov.X; Y / D Cov.Y; X/. Otra propiedad interesante y f´ acil de obtener se encuentra
cuando se calcula la covarianza entre una variable aleatoria X y ella misma, en este
caso la covarianza se reduce a la varianza de X. En el caso cuando las variables X y
Y son independientes tenemos que Cov.X; Y / D 0. El rec´ ıproco es en general falso,
es decir, el hecho de que la covarianza sea cero no implica necesariamente que las
variables aleatorias en cuesti´ on sean independientes. Por ´ ultimo, recordemos que hemos
mencionado que la varianza de la suma de dos variables aleatorias no es, en general, la
suma de las varianzas, sin embargo se cuenta con la siguiente f´ ormula general la cual
puede ser encontrada a partir de la definici´ on de varianza.
Var.X C Y / D Var.X/ C Var.Y / C 2 Cov.X; Y /:
En las aplicaciones, a menudo no se conoce la distribuci´ on verdadera del vector
aleatorio .X; Y / pero puede contarse con una colecci´ on de observaciones o mediciones
.x 1 ; y 1 /; : : : ; .x n ; y n /. Se puede entonces calcular la as´ ı llamada covarianza muestral
como sigue y que representa una estimaci´ on de la verdadera covarianza entre las
variables aleatorias:
n
1 X
Cov.fxg; fyg/ D .x i N x/ .y i N y/;
n 1
iD1
en donde Nx D .x 1 C C x n /=n y Ny se define de manera an´ aloga. En particular,
n
1 X 2
Cov.fxg; fxg/ D Var.fxg/ D .x i N x/ :
n 1
iD1
Coeficiente de correlaci´ on
Habiendo definido la covarianza podemos ahora dar la definici´ on del coeficiente de
correlaci´ on entre dos variables aleatorias. Supondremos que tales variables aleatorias
tienen esperanza y varianza finitas.

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