Page 34 - riesgo2012

24 1. El modelo individual y el modelo colectivo

Estas expresiones se siguen f´acilmente de las f´ormulas generales demostradas
antes, basta recordar que si N tiene distribuci´on bin n, p , entonces E N
np, Var N np 1 p ,y M N t 1 p pe t n . V´ease la secci´on de
ejercicios para los terceros momentos de este modelo. Observe que en este
caso se tiene una cota superior para el n´umero de reclamaciones que pueden
efectuarse.

Modelo binomial negativo compuesto

Cuando el n´umero de reclamaciones N tiene una distribuci´on binomial ne-
gativa se dice que el riesgo S tiene una distribuci´on binomial negativa com-
puesta. Esto es, si N bin neg k, p , entonces S bin neg comp k, p, G ,
donde nuevamente G hace referencia a la funci´on de distribuci´on de cada
sumando de S. En este caso se cumple lo siguiente.

Proposici´on 1.7 Si N tiene distribuci´on bin neg k, p ,entonces

a) E S k 1 p 1 µ.

2
b) E S 2 k 1 p 1 µ 2 k 1 1 p 1 µ .
2
c) Var S k 1 p 1 µ 2 1 p 1 µ .
k
p
d) M S t .
1 1 p M Y t

Para encontrar estas f´ormulas es suficiente recordar que si N tiene distribu-
2
ci´on bin neg k, p , entonces E N k 1 p p, Var N k 1 p p ,y
M N t p 1 1 p e t k . En la secci´on de ejercicios se presenta el tercer
momento de este modelo. En el caso particular cuando k 1, la distribuci´on
de N se reduce a la distribuci´on geom´etrica de par´ametro p ysedice que S
tiene distribuci´on geom´etrica compuesta.