Page 33 - riesgo2012

1.4. Modelo colectivo 23

4. De manera an´aloga a los dos primeros incisos,

M S t E e r Y 1 Y N N n P N n
n 0

E e r Y 1 Y n P N n
n 0
M Y t n P N n
n 0
E M Y t N
E e N ln M Y t
M N ln M Y t .

!

V´ease la secci´on de ejercicios para los terceros momentos de S. Considera-
remos a continuaci´on algunos casos particulares del modelo colectivo.

Modelo binomial compuesto
Cuando el n´umero de reclamaciones N tiene una distribuci´on bin n, p se
dice que el riesgo S tiene una distribuci´on binomial compuesta, y se escribe
S bin comp n, p, G , en donde G es la funci´on de distribuci´on de cada
sumando en la definici´on de S. Bajo esta hip´otesis se tienen los siguientes
resultados.

Proposici´on 1.6 Si N tiene distribuci´on bin n, p ,entonces

a) E S npµ.
2
b) E S 2 np µ 2 n 1 pµ .
2
c) Var S np µ 2 pµ .
d) M S t 1 p pM Y t n .