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16 1. El modelo individual y el modelo colectivo

Separando el primer sumando del lado izquierdo y a˜nadiendo en esa misma
suma el t´ermino correspondiente a j x, que es cero, se obtiene

x x
xf 0 g x x j f j g x j n jf j g x j .
j 1 j 1
Finalmente se despeja el t´ermino g x para llegar a la f´ormula anunciada,

1 x j n 1
g x 1 f j g x j , x 1.
f 0 x
j 1
!

Los primeros t´erminos de la f´ormula de De Pril [ii] se muestran a continua-
ci´on.
n
g 0 f 0 ,
1 n n 1
g 1 nf 1 g 0 f 1 f 0 ,
f 0 1
1 n 1 n 2 n 2 n n 1
g 2 f 1 g 1 nf 2 g 0 f 1 f 0 f 2 f 0 ,
f 0 2 2 1
1 n 2 2n 1
g 3 f 1 g 2 f 2 g 1 nf 3 g 0
f 0 3 3
n 3 n 3 n n 2 n n 1
f 1 f 0 2! f 2 f 1 f 0 f 3 f 0 .
3 2 1
Observe que las expresiones simplificadas tienen una interpretaci´on natural
en t´erminos combinatoriales. Por ejemplo, la expresi´on para g 2 involucra dos
situaciones: la primera cuando dos sumandos distintos de S toman cada uno
el valor 1 y el resto toma el valor 0, y la segunda situaci´on cuando uno de
los sumandos toma el valor 2 y el resto es 0. Los coeficientes binomiales dan
cuenta de las distintas formas en las que se pueden presentar estos arreglos.

Ejemplo 1.2 Sean X 1 ,X 2 ,X 3 variables aleatorias independientes con id´enti-
ca distribuci´on dada por la tabla que aparece abajo y cuya gr´afica se muestra
en la Figura 1.6(a). Usando la f´ormula de De Pril [ii] encontraremos la dis-
tribuci´on de S X 1 X 2 X 3 .