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1.3. F´ ormula de De Pril 15

Demostraci´on. Primeramente observemos que el evento S 0 ocurre si
y s´olo si todos los sumandos de S son cero, de modo que por independencia,

n
g 0 f 0 .

Ahora veamos la forma de obtener la f´ormula recursiva. Sean P X t y P S t
las funciones generadoras de probabilidad de las variables discretas X y S
respectivamente, es decir,

k
P X t E t X t f k ,
k 0
k
P S t E t S t g k .
k 0
Por independencia e id´entica distribuci´on, P S t P X t n . Derivando
respecto de t,
P t n P X t n 1 P X t .
S
Multiplicando ambos lados por tP X t ,

P X t tP t nP S t tP X t ,
S
que en t´erminos de sumas se escribe como sigue

j k k j
t f j kt g k n t g k jt f j .
j 0 k 1 k 0 j 1

x
El siguiente paso es identificar el coeficiente del t´ermino t para x 1en
cada lado de la ecuaci´on. Por ejemplo, para el lado izquierdo el coeficiente
es el t´ermino f j kg k para todos aquellos valores de j 0y k 1 tales que
j k x. Esta doble suma puede escribirse como x 1 f j x j g x j .De
j 0
manera similar se encuentra el coeficiente del lado derecho. Igualando estos
coeficientes se llega a la identidad

x 1 x
x j f j g x j n jf j g x j .
j 0 j 1