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12 1. El modelo individual y el modelo colectivo

La doble suma respecto de los ´ındices j y k que aparece en la expre-
si´on (1.2) es absolutamente convergente en cualquiera de los dos ´ordenes
que se efect´uen estas sumas y el resultado es el mismo. Por lo tanto, es v´ali-
do el intercambio en el orden de estas sumas y la expresi´on anterior puede
escribirse como sigue:

I
ik
tG t G t t h i, k .
i 1 k 1
Sustituyendo las expresiones para G t y G t en sus correspondientes series
de potencias se obtiene

I
r r ik
rt g r t g r t h i, k .
r 1 r 0 i 1 k 1
x
Para x 1, el coeficiente de t en el lado izquierdo es xg x , mientras que en el
lado derecho es la suma de los t´erminos g x ik h i, k , para aquellos valores de
i y k tales que 1 ik x. Se pueden primero establecer los posibles valores
para i de la siguiente forma: i 1,... ,x I y por lo tanto los valores para
k son k 1,... , x i , en donde x I es el valor m´ınimo entre x e I,y x i
es la parte entera del cociente x i. Igualando estos coeficientes se tiene que

x I x i
xg x g x ik h i, k ,
i 1 k 1

De esta forma se llega a la siguiente expresi´on, para x 1,
x I x i
1
g x g x ik h i, k .
x
i 1 k 1
Por otro lado, como S 0 s´olo cuando ning´un asegurado efect´ua ninguna
reclamaci´on, para x 0se tiene que
I J
g 0 1 q j n ij ,
i 1 j 1
!