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1.2. Modelo individual 7

Demostraci´on.

1. Por la hip´otesis de independencia,

n n n
E S E D j C j E D j E C j q j E C j .
j 1 j 1 j 1

2. Primeramente tenemos que
2
2
Var D j C j E D C 2 E D j C j
j
j
2
2
q j E C j 2 q E C j
j
2 2 2
q j Var C j E C j q E C j
j
2
q j Var C j q j p j E C j .
Por lo tanto,
n n
2
Var S Var D j C j q j Var C j p j E C j .
j 1 j 1
3. Nuevamente condicionando sobre el valor de D j ,

t E e tD j C j
M D j C j
E e tD j C j D j 0 P D j 0
E e tD j C j D j 1 P D j 1

p j q j M C j t
1 q j 1 M C j t .

4. Esta igualdad se sigue directamente de la anterior usando la hip´otesis
de independencia.

!

Puede considerarse que la variable S tiene una distribuci´on binomial genera-
lizada en el siguiente sentido: se tienen n ensayos independientes Bernoulli,
en donde la probabilidad de ´exito en el ensayo j es q j y el valor asociado
al resultado ´exito no es 1 como en el esquema usual sino el monto C j 0.