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1.3. F´ ormula de De Pril 9

no tenga soporte en el intervalo 0, . Tal vez la situaci´on m´as comprome-
tedora sea que la funci´on de densidad normal decae muy r´apidamente pues
existen riesgos cuyas funciones de densidad no cumplen con tal caracter´ısti-
ca. M´as adelante mencionaremos esta propiedad de las distribuciones de los
riesgos en t´erminos de colas pesadas y ligeras.
En la siguiente secci´on encontraremos una forma recursiva para calcular
la funci´on de probabilidad de S cuando el monto de las reclamaciones se
modela mediante una variable aleatoria discreta.

1.3. F´ormula de De Pril

Presentamos a continuaci´on la f´ormula de De Pril. Este resultado fue de-
mostrado por Nelson De Pril [12] en 1986 y proporciona una expresi´on
exacta, aunque recursiva, de la distribuci´on de probabilidad de un riesgo en
el modelo individual. La f´ormula es bastante general aunque presupone que
las reclamaciones toman los valores en el conjunto 1, 2,... .Estesupuesto
no es realmente una restricci´on fuerte, pues en la pr´actica el pago de si-
niestros se realiza siempre usando alguna unidad monetaria. Por otro lado,
la f´ormula que encontraremos permite que los riesgos a asegurar no sean
homog´eneos, sin embargo, estar´an determinados apriori, es decir, ser´an de-
terministas y fijos. Para establecer la f´ormula de De Pril es necesario dividir
el portafolio de n asegurados de acuerdo con la tasa de mortalidad y la
suma asegurada. Denotaremos por n ij al n´umero de asegurados que tienen
probabilidad de reclamaci´on q j y monto de reclamaci´on i, en donde i toma
valores en 1, 2,... ,I y j en 1, 2,... ,J . De esta forma se tiene la tabla
de la Figura 1.3 en donde la suma de las entradas es n,es decir,

I J
n n ij .
i 1 j 1
Denotaremos por Y ij el monto real reclamado por un asegurado cuya pro-
babilidad de reclamaci´on es q j y posible monto reclamado i,esdecir,
i con probabilidad q j ,
Y ij
0 con probabilidad 1 q j .
En los siguientes c´alculos haremos uso de la funci´on generadora de probabi-
lidad. El lector encontrar´a en el Ap´endice (p´agina 249) un recordatorio de