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8 1. El modelo individual y el modelo colectivo

Puede comprobarse que cuando q j es constante q y los montos C j son todos
iguales a 1, la variable S tiene distribuci´on bin n, q , y las f´ormula generales
demostradas para S se reducen a las de esta distribuci´on. Al respecto v´ease
el ejercicio 15.

Es tambi´en interesante observar que aunque inicialmente elmodelo indivi-
dual de riesgo que hemos presentado puede aplicarse a esquemas de seguros
en donde hay como m´aximo una reclamaci´on por p´oliza, esta ´unica recla-
maci´on puede considerarse como el monto total conformado por la suma
de varias posibles reclamaciones efectuadas por una p´oliza a lo largo del
periodo de vigencia del seguro. De este modo el modelo individual puede
tambi´en aplicarse al caso de reclamaciones m´ultiples. En cualquier caso, los
datos que deben tenerse o estimarse estad´ısticamente para aplicar el modelo
individual a una situaci´on real son el n´umero de asegurados n, las probabi-
lidades de reclamaci´on q 1 ,q 2 ,... ,q n , y las distribuciones de probabilidad de
los montos C 1 ,C 2 ,... ,C n .

Aproximaci´on normal

Cuando n es grande y el portafolio de asegurados es homog´eneo en el sen-
tido de que las variables D j C j son id´enticamente distribuidas con segundo
momento finito, puede usarse el teorema central del l´ımite para aproximar
la distribuci´on de S mediante la distribuci´on normal, es decir,

S E S x E S
P S x P
Var S Var S
x E S
Φ .
Var S

Esta aproximaci´on puede ser adecuada para ciertos riesgos pero tiene la
desventaja de que asigna una probabilidad positiva al intervalo , 0 ,
lo cual no es consistente con el hecho de que S 0. Sin embargo, da-
do que la distribuci´on N µ, σ 2 se concentra principalmente en el intervalo
µ 4σ,µ 4σ , cuando la esperanza y la varianza de S son tales que
E S 4 Var S 0, la probabilidad asignada a la parte negativa del eje
es realmente peque˜na, ello alivia un poco el hecho de que esta distribuci´on