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146 6. Procesos estoc´ asticos

cualesquiera tiempos 0 t 1 t 2 t n ,

.
p X t n x t n X t 1 x t 1 ,... ,X t n 1 x t n 1 p X t n x t n X t 1 x t 1
Supondremos nuevamente que estas probabilidades de transici´on son esta-
cionarias en el tiempo, esto significa que para cada s 0y t 0, se cumple
la identidad

P X t s j X s i P X t j X 0 i ,
es decir, no hay dependencia del valor de s. Esta probabilidad se escribe de
manera breve mediante la expresi´on p ij t , para i y j enteros no negativos,
es decir,

p ij t P X t s j X s i P X t j X 0 i .

En particular para t 0 se define p ij 0 como la funci´on delta de Kronecker,
es decir,
1si i j,
p ij 0 δ ij
0si i j.
Haciendo variar los ´ındices i y j en el espacio de estados se obtiene la matriz
de probabilidades de transici´on al tiempo t, que denotaremos por P t yen
ocasiones se escribe tambi´en como P t :

p 00 t p 01 t

P t p ij t p 10 t p 11 t .
. . . . . .

Puede demostrarse que cuando el espacio de estados es finito, esta matriz
es siempre estoc´astica, es decir, los elementos de cada rengl´on suman 1.

Definici´on 6.9 A un proceso de saltos con las caracter´ısticas y postulados
arriba se˜nalados se le llama cadena de Markov a tiempo continuo.

Observe que en un proceso de Markov a tiempo continuo las probabilidades
de saltos p ij y las probabilidades de transici´on p ij t representan aspectos