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4.2. Reaseguro no proporcional 99

R
Es claro que se cumple la identidad N N A N . Observamos adem´as
que, condicionado al evento N n , cada una de estas variables aleatorias
tiene una distribuci´on binomial en donde n es el n´umero de ensayos y las
probabilidades de ´exito son p P Y j M en el primer caso y 1 p

P Y j M en el segundo caso. La distribuci´on no condicional de estas
variables es el contenido del siguiente resultado en donde supondremos que
la distribuci´on de N es conocida y corresponde a uno de tres casos.

Proposici´on 4.1 Sea a P Y j M .

1. Si N tiene distribuci´on bin n, p ,entonces
a) N A bin n, ap .
b) N R bin n, 1 a p .

2. Si N tiene distribuci´on Poisson λ ,entonces

a) N A Poisson λa .
b) N R Poisson λ 1 a .

3. Si N tiene distribuci´on bin neg k, p ,entonces

a) N A bin neg k, p p a 1 p .
b) N R bin neg k, p p 1 a 1 p .

Demostraci´on. Verificaremos ´unicamente el primer resultado aplicando
la f´ormula general M S t M N ln M Y t cuando el riesgo S es la variable
N A y una reclamaci´on Y tiene la forma particular 1 Y j M , lo cual es una
variable aleatoria con distribuci´on Bernoulli. Observemos primeramente que

t
M Y t E e tY 1 a ae .
Entonces M N A t M N ln 1 a ae t .Cuando N tiene distribuci´on
bin n, p tenemos que M N t 1 p pe t n . Por lo tanto,

M N A t 1 p p 1 a ae t n 1 ap ape t n .

Es decir N A tiene distribuci´on bin n, ap . An´alogamente puede verse que
N R tiene distribuci´on bin n, 1 a p . De la misma forma se demuestran los