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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 91 — #97
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3.16. Cadenas reversibles 91

Si existiera una soluci´on a este sistema de ecuaciones que resulte ser una
distribuci´on de probabilidad, entonces por la Proposici´on 3.22 sabr´ıamos que
dicha distribuci´on es estacionaria y la cadena ser´ıa reversible. Dado que las
probabilidades buscadas se encuentran en t´erminos de la inmediata anterior,
se puedan escribir todas en t´erminos de π 0 yde esa forma se obtienenlas
siguientes expresiones
N
π 1 π 0 ,
1
N
π 2 π 0 ,
2
. . .
N
π N π 0 .
N
Sumando todas estas cantidades junto a π 0 se tiene que

N N
N
1 π 0 π 0 2 .
i
i 0
N N N
Por lo tanto π 0 1 2 ,y encontramos nuevamente que π i 2 es
i
la soluci´on al sistema. Esta es la distribuci´on bin N, 1 2 .Por la Proposi-
ci´on 3.22, sabemos entonces que la distribuci´on encontrada es estacionaria
yla cadena esreversible.

Ejemplo 3.27 Considere una caminata aleatoria no homog´enea sobre el
conjunto 0, 1,... ,con probabilidades de transici´on

p i si j i 1,
q i si j i 1,
p ij
1 p i q i si j i,
0 otro caso,

en donde q 0 0.Esta es una cadena irreducible. Si uno busca una distribu-
ci´on estacionaria a trav´es de la ecuaci´on π π P,se tendr´ıa que resolver
el sistema de ecuaciones

π 0 π 0 1 p 0 q 1 π 1 ,
π i π i 1 q i 1 π i 1 p i q i π i 1 p i 1 , para i 1.

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