Page 95 - flip-procesos

✐ ✐

“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 87 — #93
✐ ✐

3.15. Cadenas regulares 87

Para este tipo particular de cadenas finitas se conocen los siguientes resul-
tados acerca de su comportamiento l´ımite.

Proposici´on 3.21 Toda cadena finita que adem´as es:

1. regular, tiene como distribuci´on l´ımite la ´unica soluci´on no negativa
del sistema de ecuaciones (3.15).

2. regular y doblemente estoc´astica, tiene como distribuci´on l´ımite la dis-
tribuci´on uniforme.

3. irreducible, aperi´odica y doblemente estoc´astica, tiene como distribu-
ci´on l´ımite la distribuci´on uniforme.

Demostraci´on.

1. Como la cadena es regular, es irreducible, aperi´odica, y es recurrente
positiva por ser finita. Por el Teorema 3.3, la distribuci´on l´ımite existe
yest´a dada por el sistema de ecuaciones (3.15).

2. Como la cadena es regular, es aperi´odica, irreducible y recurrente
positiva por ser finita. Entonces la distribuci´on l´ımite existe. Por
la hip´otesis de doble estocasticidad y suponiendo que el espacio de
estados es 0, 1,... ,N ,se tiene que N p ij n 1. Tomando el
i 0
l´ımite cuando n tiende a infinito se obtiene N π j 1. Por lo tanto,
i 0
π j 1 N 1 .
3. Este resultado es id´entico al anterior, pues hemos demostrado que la
regularidad es equivalente a la finitud, irreducibilidad y aperiodicidad
conjuntamente.

!

Ejemplo 3.25 Sea S n la suma de los resultados que se obtienen al lanzar
un dado equilibrado n veces. Encontraremos

l´ım P S n es m´ultiplo de 7 .
n

✐ ✐

✐ ✐