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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 94 — #100
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94 3. Cadenas de Markov

de los grandes n´umeros y el teorema central del l´ımite, as´ıcomo otros re-
sultados fundamentales de la teor´ıa de la probabilidad, y sobre el m´etodo
de m´ınimos cuadrados. Markov fue un profesor muy estricto pero tambi´en
muy claro en sus exposiciones, y demandaba mucho rigor matem´atico en
los argumentos de sus estudiantes. Markov desarroll´o su teor´ıa de cadenas
de Markov desde un punto de vista matem´atico, aunque tambi´en aplic´o su
modelo en el an´alisis de estilos de escritura en poemas. Con sus trabajos so-
bre cadenas de Markov fund´o una nueva rama de la probabilidade inici´o la
teor´ıa de los procesos estoc´asticos.
Fuente: Archivo MacTutor, Universidad de St. Andrews.

3.18. Ejercicios

Recordemos que para hacer la notaci´on m´as corta, a la probabilidad P X n
x n se le ha escrito como p x n ,es decir,elsub´ındice indica tambi´en la varia-
ble a la que se hace referencia. El significado de la probabilidad condicional
p x n 1 x n es an´alogo.

Propiedad de Markov

20. Demuestre que la propiedad de Markov (3.1) es equivalentea cada
una de las siguientes condiciones.

a) Esta condici´on establece que la distribuci´on conjunta queda es-
pecificada a trav´es de la distribuci´on inicial y las probabilidades
de transici´on en un paso: para cualesquiera estados x 0 ,... ,x n ,

p x 0 ,x 1 ,... ,x n p x 0 p x 1 x 0 p x n x n 1 .
b) Esta condici´on establece que el futuro, sin importar lo distante
que se encuentre, depende solamente del ´ultimo momento obser-
vado: para cualesquiera enteros n, m 1,

p x n m x 0 ,... ,x n p x n m x n .
c) Esta es la condici´on de Markov para tiempos no necesariamente
consecutivos: para cualesquiera enteros 0 n 1 n m 1 ,

.
p x n m 1 x n 1 ,... ,x n m p x n m 1 x n m

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