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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 88 — #94
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88 3. Cadenas de Markov

Defina el proceso X n S n mod. 7 cuyo espacio de estados es 0, 1,... , 6 .
No es dif´ıcil convencerse de que X n : n 1 es una cadena de Markov con
matriz de probabilidades de transici´on

0 1 61 61 61 61 61 6
1 6 0 1 61 61 61 61 6
1 61 6 0 1 61 61 61 6
P 1 61 61 6 0 1 61 61 6
1 61 61 61 6 0 1 61 6
1 61 61 61 61 6 0 1 6
1 61 61 61 61 61 6 0

0 ,demodo
El evento S n es m´ultiplo de 7 es id´entico al evento X n
que la probabilidad de que S n sea m´ultiplo de 7 alargo plazo es el tiempo de
estancia a largo plazo que la cadena X n : n 1 pasa en el estado 0.El
problema se reduce a encontrar la distribuci´on l´ımite de P.Pero esta matriz
es regular, y entonces su distribuci´on l´ımite es la uniforme. Por lo tanto,

l´ım P X n 0 1 7.
n

3.16. Cadenas reversibles

Sea X n : n 0 una cadena de Markov con probabilidades de transici´on
p ij .Sea m 1un entero fijo y defina un nuevoproceso Y n X m n para
n 0,... ,m,es decir, Y n : n 0,... ,m es la cadena original pero vista
en sentido inverso en el tiempo, ahora del tiempo m al tiempo 0. Este nuevo
proceso resulta tambi´en ser una cadena de Markov, pues cumple el criterio
de independencia entre pasado y futuro cuando se conoce el presente, las
nociones de pasado y futuro se intercambian debido al cambio en el sentido
del tiempo. En efecto, para 1 r n m,considere la probabilidad
condicional
P y 1 ,... ,y r 1 ,y r 1 ,... ,y n y r .
En t´erminos del proceso X n : n 0 ,esta probabilidad es

P X m 1 y 1 ,... ,X m r 1 y r 1 ,
X m r 1 y r 1 ,... ,X m n y n X m r y r .

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