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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 90 — #96
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90 3. Cadenas de Markov

Ala ecuaci´on (3.17) se llama ecuaci´on de balance detallado. La utilidad de
las cadenas reversibles est´a dada por el siguiente resultado, el cual ejempli-
ficaremos m´as adelante con un par de aplicaciones.

Proposici´on 3.22 Considere una cadena irreducible para la cual existe una
distribuci´on π que cumple la identidad (3.17). Entonces π es una distribu-
ci´on estacionaria y la cadena es reversible.

Demostraci´on. Si π cumple (3.17), entonces es una distribuci´on esta-
cionaria pues i π i p ij i π j p ji π j .Adem´as la cadena es reversible por
definici´on. !

Ejemplo 3.26 Considere nuevamente la cadena de Ehrenfest. El espacio
de estados es 0,... ,N ,y las probabilidades de transici´on son,para i
1,... ,N 1,
N i N si j i 1,
p ij i N si j i 1,
0 otro caso,

con p 01 1 y p N,N 1 1.Esta cadena es finita,irreducibley recurrente
positiva. Estas propiedades garantizan que la cadena tiene una ´unica dis-
tribuci´on estacionaria. Si se desea encontrar esta distribuci´on estacionaria
atrav´es de la ecuaci´on π π P,uno tendr´ıa queresolver el sistema
1
π 0 π 1 ,
N
N i 1 i 1
π i π i 1 π i 1 , para i 1,... ,N 1,
N N
1
π N π N 1 .
N
Apartir de estas ecuaciones hemos demostrado en el Ejemplo 3.22 de la
p´agina 78 que π es la distribuci´on bin N, 1 2 .Alternativamente, usando el
concepto de reversibilidad se puede intentar encontrar una posible soluci´on
al sistema de ecuaciones

π i p ij π j p ji ,
el cual, despu´es de algunos c´alculos, se reduce al sistema

N i
π i 1 π i , para i 0, 1,... ,N 1.
i 1

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