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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 89 — #95
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3.16. Cadenas reversibles 89

Por la propiedad de Markov del proceso X n : n 0 ,esta probabilidad es
el producto

P X m 1 y 1 ,... ,X m r 1 y r 1 X m r y r
P X m r 1 y r 1 ,... ,X m n y n X m r y r ,
que en t´erminos del proceso Y n : n 0,... ,m es la propiedad de Markov
para este proceso

P y 1 ,... ,y r 1 y r P y r 1 ,... ,y n y r .
Sin embargo, las probabilidades de transici´on del nuevo proceso no son ho-
mog´eneas pues para 0 n m,

P X m n i, X m n 1 j
P Y n 1 j Y n i
P X m n i
P X m n 1 j
P X m n i X m n 1 j
P X m n i
P Y n 1 j
p ji ,
P Y n i

es decir, estas probabilidades dependen de n atrav´es del cociente P Y n 1
j P Y n i .Taldependencia desaparece cuando se toma como hip´otesis
la existencia de una distribuci´on estacionaria π para X n : n 0 ,pues en
tal caso la igualdad anterior se reduce a

π j
P Y n 1 j Y n i p ji . (3.16)
π i
Bajo tal hip´otesis las probabilidades de transici´on de la nueva cadena son
ahora estacionarias. Si adicionalmente se pide que las probabilidades de
transici´on son las mismas para ambas cadenas, entonces de laecuaci´on (3.16)
se obtiene que debe satisfacerse la ecuaci´on p ij p ji π j π i ,es decir, π i p ij
π j p ji .Esto lleva a la siguiente definici´on de reversibilidad,la cual a˜nade la
hip´otesis de irreducibilidad.

Definici´on 3.16 Se dice que una cadena de Markov irreducible con proba-
bilidades de transici´on p ij ycondistribuci´onestacionaria π es reversible en
el tiempo si para cualesquiera estados i y j,

π i p ij π j p ji . (3.17)

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