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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 85 — #91
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3.14. Distribuciones l´ ımite 85

es decir, sobre el evento τ n ,las variables X n y Y n tienen la misma
distribuci´on de probabilidad. Por otro lado,

P X n j P X n j, τ n P X n j, τ n

P Y n j, τ n P X n j, τ n
P Y n j P τ n .

De manera an´aloga, P Y n j P X n j P τ n .Por lo tanto,

P X n j P Y n j P τ n 0, (3.14)
cuando n .Siahora se toma X 0 i con probabilidad uno, entonces se
tiene que

P X n j P X n j X 0 i P X 0 i p ij n P X 0 i p ij n .
Por otro lado, si se toma Y 0 con la distribuci´on estacionaria π,entonces

P Y n j P Y n j Y 0 i π i π i p ij n π j .
i i
Substituyendo estas expresiones en (3.14) se conluye que

p ij n π j 0.
!

El siguiente resultado establece condiciones suficientes para la existencia
del l´ımite de las probabilidades de transici´on cuando el n´umero de pasos
crece a infinito, asegurando adem´as que el l´ımite obtenido constituye una
distribuci´on de probabilidad estacionaria.

Teorema 3.3 (Convergencia para cadenas de Markov) Considere
una cadena de Markov que es:
a) irreducible,

b) recurrente positiva, y

c) aperi´odica.

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