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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 84 — #90
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84 3. Cadenas de Markov

Entonces para cualesquiera estados i y j, l´ım p ij n π j .
n

Demostraci´on. El m´etodo de esta demostraci´on se conoce como t´ecnica
de acople. Sea Y n : n 0 una cadena de Markov independiente de la
original X n : n 0 ,pero con la misma matriz de probabilidades de
transici´on. Entonces el proceso Z n : n 0 definido por Z n X n ,Y n es
una cadena de Markov con probabilidades de transici´on

P Z n 1 x n 1 ,y n 1 Z n x n ,y n p x n,x n 1 p y n,y n 1 ,

ypuede f´acilmente comprobarse que tiene distribuci´on estacionaria

.
π x n,y n π x n π y n

Puede adem´as verificarse que la cadena Z n : n 0 es recurrente positiva.
Adem´as es irreducible, pues como X n : n 0 y Y n : n 0 son aperi´odi-
cas, existe un n´umero natural N tal que p ij n p kl n 0, para toda n N.
Por lo tanto p i,k j,l n 0.
Sea j un estado cualquiera de la cadena original. Defina el primer momento
en el que la cadena Z n : n 0 visita el estado j, j como τ j m´ın n
1: Z n j, j .Sea adem´as τ m´ın n 1: X n Y n .Este es elprimer
momento de acople de las dos cadenas. Como Z n : n 0 es recurrente,
P τ 1. Adem´as τ τ j .Por la propiedad de Markov,

n
P X n x, τ n P X n x, X r j, τ r
j r 1
n
P X n x X r j, τ r P X r j, τ r
j r 1
n
P Y n x Y r j, τ r P Y r j, τ r
j r 1
n
P Y n x Y r j P Y r j, τ r
j r 1
P Y n x, τ n ,

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