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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 83 — #89
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3.14. Distribuciones l´ ımite 83

estado j,

N N
π i p ij l´ım p ki n p ij
n
i 0 i 0
N
l´ım p ki n p ij
n
i 0
l´ım p kj n 1
n
π j .

Tomando el l´ımite cuando N se obtiene que para cualquier estado j,

π i p ij π j . (3.13)
i

Si π j 0para cualquier j,entonces estas desigualdades se convierten en
identidades como dice el enunciado. Suponga entonces que π j 0. De-
j
mostraremos que las desigualdades que aparecen en (3.13) no pueden ser
estrictas. Suponga que para alg´un estado j, π i p ij π j .Entonces
i

π j π i p ij π i p ij π i .
j i,j i j i

Esto es una contradicci´on, por lo tanto (3.13) es en realidaduna igualdad.
!

Ahora se establecen condiciones suficientes para que exista el l´ımite de las
probabilidades de transici´on cuando el n´umero de pasos n crece a infini-
to. Este resultado es una especie de rec´ıproco del resultadoanterior, pues
supone la existencia de una distribuci´on estacionaria paraconcluir que los
l´ımites de las probabilidades existen.

Teorema 3.2 (Convergencia a la distribuci´on estacionaria) Con-
sidere una cadena de Markov que es:
a) irreducible,

b) aperi´odica, y

c) con distribuci´on estacionaria π.

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