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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 274 — #280
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274 9. C´ alculo estoc´ astico

Primeras hip´otesis
Consideraremos como elementos iniciales un espacio de probabilidad Ω, F,P ,
yun movimiento Browniano est´andar unidimensional B t : t 0 ,junto
con su filtraci´on natural F t t 0 .Supondremos dado un proceso X t con
espacio parametral el intervalo 0,T ,con T 0fijo, y que vistocomofun-
ci´on X : Ω 0,T ,es F T B 0,T -medible, en donde el t´ermino
F T B 0,T corresponde a la m´ınima σ-´algebra generada por el espacio
producto F T B 0,T .Supondremos adem´as que el proceso es adaptado,
es decir, para cada t en el intervalo 0,T ,la variable aleatoria X t es medible
respecto de F t .

2
El espacio L P
2
Denotaremos por L P al espacio vectorial de variables aleatorias X que
son cuadrado integrables, es decir, que cumplen la condici´on

X L P E X 2 1 2 .
2
2
La funci´on L P define una norma en L P ,es decir,es una funci´on
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real definida sobre este espacio lineal que cumple las siguientes cuatro condi-
ciones:

a) X 0.

b) X 0 X 0c.s.

c) X Y X Y .

d) αX α X , α constante.

2
Se puede verificar que el espacio lineal L P es completo respecto de esta
norma, es decir, es un espacio de Banach. Esto quiere decir quetoda sucesi´on
de Cauchy en este espacio tiene l´ımite en ´el. A la convergencia usando esta
2
norma se le llama convergencia en L P ,o tambi´en convergencia en media
cuadr´atica. Por ejemplo, la variable aleatoria B t del movimiento Browniano
pertenece a este espacio pues,

2 1 2
2
B t L P E B t t .

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