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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 278 — #284
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278 9. C´ alculo estoc´ astico

tales que
T
2
E X t dt .
0
2
2
El espacio H resulta ser un subespacio lineal cerrado de L P dt .Observe
que la ´unica diferencia entre estos dos espacios es que a los elementos de
2
H se les pide adem´as que sean medibles y adaptados. En particular, todo
2
proceso simple es un elemento de H .Tenemos entonces la contenci´on de
2
2
espacios H 2 0 H 2 L P dt ,en donde puede probarse que H es denso
0
2
2
en H respecto de la norma en L P dt .Esto significa que para cualquier
k
2
2
proceso X en H existe un sucesi´on de procesos X en H tales que
0
l´ım X X k L P dt 0. (9.4)
2
k
Este procedimiento de aproximaci´on puede llevarse a cabo dela siguiente
2
forma: mediante la t´ecnica de truncaci´on todo proceso en H puede ser
2
aproximado por un proceso acotado. A su vez todo proceso en H que es
acotado se puede aproximar por procesos acotados y continuos. Y ´estos a
su vez se aproximan por procesos simples de la forma (9.2). Losdetalles
completos de esta sucesi´on de aproximaciones pueden encontrarse en [25].
Usando la isometr´ıa de Itˆo es sencillo comprobar que la sucesi´on I X k es
2
una sucesi´on de Cauchy en el espacio L P ,en efecto,
I X k I X l L P I X k X l L P
2
2
X k X l L P dt
2
X X k L P dt X X l L P dt .
2
2
Debido a (9.4) la ´ultima expresi´on puede hacerse tan peque˜na como se desee,
tomando ´ındices k y l suficientemente grandes.
k
2
Definici´on 9.3 Sea X un proceso en H ,y sea X una sucesi´on de procesos
2
en H aproximante a X.Sedefinela integral estoc´astica de X como
0
k
I X l´ım I X ,
k
2
en donde el l´ımite debe entenderse dentro del espacio L P ,es decir, se
trata de la convergencia en media cuadr´atica de una sucesi´on de variables
aleatorias.

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