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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 270 — #276
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270 8. Movimiento Browniano

Movimiento Browniano multidimensional

229. Sea B t B 1 t ,... ,B n t un movimiento Browniano est´andar en
n
R ,y sea r 0. Sea x x 2 1 x 2 1 2 la norma Euclideana en
n
n
R .Demuestre que la funci´on de densidad de B t es, para x 0,
1 1 n 2 x 2 n 2 1 2x 2
f x e x 2t .
Γ n 2 2 t t

En particular, demuestre que para n 2,
2
P B t x 1 e x 2t .

2
230. Demuestre que el operator Laplaciano en R :
2 f 2 f
△f x, y
x 2 y 2

adquiere la siguiente expresi´on en coordenadas polares:
2 1 1 2
△f r, θ f f f.
r 2 r r r 2 θ 2
Compruebe que cuando f depende de x yde y ´unicamente a trav´es
2
de r x 2 y ,el Laplaciano se reduce a la expresi´on:

d 2 1 d
△f r, θ f f.
dr 2 r dr
Este resultado fue usado en la demostraci´on de la propiedad de recu-
2
rrencia por vecindades del movimiento Browniano en R .
3
231. Demuestre que el operator Laplaciano en R :
2 f 2 f 2 f
△f x, y, z
x 2 y 2 z 2

adquiere la siguiente expresi´on en coordenadas esf´ericas:
1 1 1 2
△f r, θ, φ r 2 f sen θ f f.
2
2
2
r 2 r r r sen θ θ θ r sen θ φ 2

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