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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 279 — #285
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9.1. Integraci´ on estoc´ astica 279

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Esto significa que la variable aleatoria I X es un elemento de L P y
es tal que l´ım n I X I X k L P 0. No es dif´ıcil verificar que
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tal definici´on es correcta en el sentido de que el l´ımite no depende de la
sucesi´on aproximante. En este punto empieza a perderse nuestra concepci´on
tradicional de integral, pues ahora ´esta se encuentra definida a trav´es de
una sucesi´on aproximante del proceso a integrar. De manera gr´afica esta
extensi´on se ilustra en la Figura 9.2.

I
H 2
0
H 2

2
2
L P dt L P

Figura 9.2

2
La isometr´ıa de Itˆo se cumple tambi´en para procesos en H como se muestra
acontinuaci´on.
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Proposici´on 9.1 (Isometr´ıa de Itˆo) Para cualquier proceso X en H se
cumple
I X L P X L P dt . (9.5)
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2
2 2
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Demostraci´on. Sea X en H ysea X n en H tal que X X n L P dt
0
0. Esta convergencia y la desigualdad a b a b implican que
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2
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X n L P dt X L P dt .An´alogamente, como I X I X n L P
0se tiene que I X n L P I X L P .Elresultado buscado se ob-
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tiene al tomar el l´ımite en la isometr´ıa de Itˆo como se muestra en el siguiente
diagrama:
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I X n L P X n L P dt
I X L P X L P dt .
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2
!

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