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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 276 — #282
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276 9. C´ alculo estoc´ astico

condiciones solicitadas garantizan que el proceso es adaptado y tiene trayec-
torias cuadrado integrables. Estas propiedades permitir´an dar una definici´on
adecuada para la integral estoc´astica. Una trayectoria de este tipo de proce-
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sos se muestra en la Figura 9.1. Denotaremos por H al espacio de todos los
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procesos simples. Haciendo posi-
blemente algunos refinamientos
X t ω
en las particiones, dos procesos 1 X n 1
simples pueden siempre expre- X
sarse en t´erminos de una misma
partici´on com´un. De modo que X 0
la suma de dos procesos simples
tiene sentido y resultar´a ser tam-
t
bi´en un proceso simple. El espa-
t 1 t 2 t n 1 t n
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cio H es efectivamente un espa- Figura 9.1
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cio vectorial.
Integral para procesos simples
Esta es la definici´on intuitiva de integral y establece simplemente que si el
integrando es constante en alg´un subintervalo, entonces laintegral debe ser
esa constante multiplicada por el incremento del movimientoBrowniano en
dicho subintervalo.

Definici´on 9.2 La integral estoc´astica de Itˆo de un proceso simple X de
la forma (9.2), respecto del movimiento Browniano, denotadapor I X ,se
define como la variable aleatoria

T n 1
I X X s dB s X k B t k 1 B t k .
0 k 0

Veamos algunas propiedades de esta variable aleatoria.

a) Es integrable pues siendo las variables X k y B t k 1 B t k independien-
tes, cada sumando tiene esperanza cero, y por lo tanto la esperanza
de la integral es cero.

b) La integral es adem´as cuadrado integrable y de hecho se cumple la
siguiente igualdad fundamental llamada Isometr´ıa de Itˆo:

I X L P X L P dt . (9.3)
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