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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 273 — #279
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Cap´ıtulo 9
C´alculo estoc´astico
En este ´ultimo cap´ıtulo se presenta una breve introducci´on al c´alculo es-
toc´astico de Itˆo y est´a basado en [30]. Vamos a definir la integral de Itˆo de
un proceso estoc´astico respecto del movimiento Browniano.Mostraremos
adem´as el uso y aplicaci´on de la f´ormula de Itˆo, y resolveremos algunos
modelos sencillos de ecuaciones estoc´asticas.
9.1. Integraci´on estoc´astica
El objetivo de esta secci´on es presentar la definici´on de la integral de Itˆo de
un proceso X t respecto del movimiento Browniano, es decir, una integral
de la forma
t
X s dB s . (9.1)
0
Este tipo de integrales no pueden definirse trayectoria por trayectoria, es de-
cir, como si fuera una integral de Riemann-Stieltjes de una funci´on respecto
de otra funci´on, pues en este caso la funci´on integradora esuna trayectoria
del movimiento Browniano que, como hemos visto antes, no tiene variaci´on
finita. La justificaci´on para desear definir este tipo de integrales ser´a evi-
dente m´as adelante cuando estudiemos ecuaciones estoc´asticas basadas en
este tipo de integrales. Definir la integral de Itˆo a un nivel elemental nos con-
ducir´a necesariamente a dejar sin demostraci´on algunos resultados t´ecnicos.
Daremos la definici´on de integral estoc´astica en varios pasos, primero para
procesos simples y despu´es, por aproximaci´on, para procesos m´as generales.
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