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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 275 — #281
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9.1. Integraci´ on estoc´ astica 275

2
El espacio L P dt
2
Denotaremos tambi´en por L P dt al espacio lineal de todos los procesos
X X t :0 t T ,que cumplen la condici´on
T
2
X L P dt E X t dt 1 2 .
2
0
Puede demostrarse que la funci´on L P dt es efectivamente una norma y
2
que este espacio es completo respecto de esta norma, es decir,es un espacio
de Banach. Por ejemplo, el movimiento Browniano B B t :0 t T
pertenece a este espacio pues,

T
2
B L P dt E B t dt 1 2
2
0
T
2
E B t dt 1 2
0
T
tdt 1 2
0
T
.
2

Procesos simples
Definiremos primero la integral de Itˆo para procesos que tienen la forma
indicada a continuaci´on y que llamaremos procesos simples.

Definici´on 9.1 Sea 0 t 0 t 1 t n T una partici´on finita del
intervalo 0,T .Un proceso estoc´astico simple es un proceso dela forma

n 1
X t X k 1 t , (9.2)
t k ,t k 1
k 0
en donde X 0 ,... ,X n 1 es una colecci´on de variables aleatorias adaptadas
n 1 ,y queson cuadrado integrables.
alafiltraci´on F t k k 0

La expresi´on 1 a,b t denota a la funci´on indicadora del intervalo a, b .Un
proceso simple es entonces un proceso constante por pedazos con trayec-
torias c`adl`ag (continuas por la derecha, con l´ımite por la izquierda), y las

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