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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 269 — #275
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8.9. Ejercicios 269

en donde F x es la funci´on de distribuci´on de la variable B t .
c) Calcule E X t yVar X t .

225. La martingala exponencial. El proceso que se obtiene al tomar la ex-
ponencial de un movimiento Browniano no es, en general, una mar-
tingala, sin embargo, a˜nadiendo un t´ermino extra este nuevo proceso
puede convertirse en una martingala y se le llama martingala exponen-
cial.M´as espec´ıficamente, sea B t : t 0 un movimiento Browniano
est´andar y sea c una constante. Defina el proceso
2
X t exp cB t c t 2 .
a) Compruebe que X t : t 0 es efectivamente una martingala
respecto de la filtraci´on natural del movimiento Browniano.
2
b) Compruebe que E X t 1y Var X t e c t 1.
226. El puente Browniano en 0, 1 . Sea B t : t 0 un movimiento
Browniano unidimensional est´andar. Demuestre que la distribuci´on
condicional de la variable B t ,con t 0, 1 ,dado que B 0 0y B 1 0,
es
1 2
f x e x 2t 1 t , para x ,
2π t 1 t
es decir, B t tiene distribuci´on condicional N 0,t 1 t .A este proceso
condicionado se le conoce con el nombre de puente Browniano en el
intervalo unitario 0, 1 .El siguiente ejercicio generaliza este resultado.
227. El puente Browniano en t 1 ,t 2 . Sea B t : t 0 un movimiento
Browniano unidimensional est´andar, y sean t 1 y t 2 dos tiempos fijos
tales que 0 t 1 t 2 .Demuestre que la distribuci´on condicionalde la
variable B t ,con t t 1 ,t 2 ,dado que B t 1 a y B t 2 b,es N µ, σ 2
con
t t 1
µ a b a ,
t 2 t 1
y σ 2 t 2 t t t 1 .
t 2 t 1
228. Sea B t : t 0 un movimiento Browniano que empieza en cero. Use
el principio de reflexi´on para demostrar que para cualquier a 0,

P B t a para alg´un t 0 1.

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