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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 277 — #283
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9.1. Integraci´ on estoc´ astica 277

Para comprobar esta identidad vamos a denotar nuevamente por ∆B k
,y sea ∆t k t k 1 t k .Nuevamente por la
aladiferencia B t k 1 B t k
independencia de X k y ∆B k se tiene que
n 1
I X 2 2 E X k B t k 1 B t k 2
L P
k 0
n 1
E X j X k ∆B j ∆B k
j,k 0
n 1
E X k 2 ∆B k 2
k 0
n 1
E X k 2 ∆t k
k 0
T
2
E X t dt
0
X 2 .
2
L P dt
Esta identidad establece que tanto el proceso simple X como la variable
aleatoria I X tienen la misma norma en sus respectivos espacios. Como se
ver´a m´as adelante, esta igualdad juega un papel primordialen la definici´on
general de integral estoc´astica. La integral estoc´asticaasigna entonces a
2
2
cada elemento del espacio H una variable aleatoria en el espacio L P .De
0
2
esta forma se tiene la transformaci´on lineal I : H 0 2 L P ,que resulta ser
continua por la isometr´ıa de Itˆo. Observe que se puede tomarcomo ejemplo
de proceso simple el movimiento Browniano discretizado, es decir, se puede
tomar como proceso simple X k B t k ,y de esta forma tener la integral
estoc´astica discreta del movimiento Browniano respecto des´ı mismo,

n 1
.
B t k B t k 1 B t k
k 0

Extensi´on por aproximaci´on
Ahora extenderemos la integral estoc´astica a procesos un poco m´as gene-
2
rales. Sea H el espacio de todos los procesos X t medibles y adaptados,

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