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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 268 — #274
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268 8. Movimiento Browniano

223. Movimiento Browniano reflejado en el origen. Sea B t : t 0 un

movimiento Browniano est´andar. El proceso X t B t : t 0 co-
rresponde a un movimiento Browniano que s´olo toma valores positivos
pues las trayectorias son reflejadas respecto del origen hacia la parte
positiva del eje. Demuestre que X t : t 0 es un proceso de Mar-
kov con trayectorias continuas y que tiene funci´on de probabilidad de
transici´on q t, x, y dada por
q t, x, y p t, x, y p t, x, y ,

para cualesquiera valores x, y 0, en donde p t, x, y es la correspon-
diente funci´on de probabilidad de transici´on del movimiento Brownia-
no. Compruebe adem´as que

a) E X t 2t π.
b) Var X t 1 2 π t.
x
224. Movimiento Browniano con absorci´on en el origen. Sea B : t 0
t
un movimiento Browniano est´andar que inicia en x 0. Defina el
tiempo τ ´ınf t 0: B t x 0 yel proceso
B x si 0 t τ,
t
X t
0 si t τ,
el cual representa un movimiento Browniano que inicia en x con la
caracter´ıstica de que una vez que llega al cero permanece en ese estado
el resto del tiempo.

a) Demuestre que X t : t 0 es un proceso de Markov con trayec-
torias continuas.
b) Observe que la variable X t es mixta, es decir, no es discreta ni
continua. Demuestre que la funci´on de probabilidad de transici´on
del proceso X t : t 0 es, en su parte continua,
q t, x, y p t, 0,y x p t, 0,y x , para x, y 0,

en donde p t, x, y es la correspondiente funci´on para B t : t 0 ,
un movimiento Browniano que inicia en cero. Demuestre adem´as
que, para la parte discreta,

q t, x, 0 2 1 F x ,

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