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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 266 — #272
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266 8. Movimiento Browniano

que si B t : t 0 es un movimiento Browniano est´andar, entonces
2
los siguientes procesos son movimientos Brownianos de par´ametro σ .

a) W t σ B t : t 0 .
b) W t B 2 : t 0 .
σ t
211. Cambios de escala 2. Sea B t : t 0 un movimiento Browniano de
2
par´ametro σ .Demuestre que los siguientes procesos son movimientos
Brownianos est´andar.

1
a) W t B t : t 0 .
σ
b) W t B t σ 2 : t 0 .

212. Traslaci´on.Sea s 0fijo y sea B t : t 0 es un movimiento Brow-
niano est´andar. Demuestre que el proceso X t B t s B s : t 0 es
un movimiento Browniano est´andar.

t
213. Sean las funciones a t e 2t y b t e .Calcule la funci´on de
covarianza del proceso X t b t B a t : t 0 en donde B t : t 0
un movimiento Browniano est´andar.

2
214. Sea B t : t 0 un movimiento Browniano de par´ametro σ .Apartir
de la definici´on, demuestre que el proceso W t tB 1 t : t 0 ,con
2
W 0 0, es un movimiento Browniano de par´ametro σ .
215. Movimiento Browniano con tiempo invertido.Sea s 0fijo y sea
B t : t 0 es un movimiento Browniano est´andar. Demuestre que
el proceso X t B s B s t : t 0,s es un movimiento Browniano
en el intervalo 0,s .Este es un movimiento Browniano con tiempo
invertido.

216. Demuestre que la probabilidad de transici´on p t, x, y del movimiento
2
Browniano unidimensional de par´ametro σ satisface la ecuaci´on de
difusi´on, tambi´en llamada ecuaci´on de calor:

p σ 2 p
.
t 2 y 2

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