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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 267 — #273
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8.9. Ejercicios 267

217. Demuestre que la probabilidad de transici´on p t, x, y del movimiento
2
Browniano unidimensional de par´ametro σ cumple la ecuaci´on de
Chapman- Kolmogorov:

p t s, x, y p t, x, u p s, u, y du.

218. Sea B t : t 0 un movimiento Browniano est´andar. Demuestre que:

2 t s
a) E B t B s .
π
2
b) E B t B s t s .
c) E B s B t s t.
d) Cov B s ,B t s t.
e) ρ B t ,B s s t,para 0 s t.
219. Sea B t : t 0 un movimiento Browniano. Demuestre que tanto el
proceso original B t : t 0 como B t 2 t : t 0 son martingalas
respecto de la filtraci´on natural del movimiento Browniano.
220. Use la caracterizaci´on de Paul L`evy para demostrar quelos siguientes
procesos son movimientos Brownianos:

a) W t B t : t 0 .
1
b) W t B 2 : t 0 , con c 0constante.
c c t
c) W t tB 1 t : t 0 , con W 0 0.
d) W t B t 0 t B t 0 : t 0 , con t 0 0fijo.
2
221. Sea B t : t 0 un movimiento Browniano de par´ametro σ que inicia
en cero. Sea a una constante y defina el tiempo τ ´ınf t 0: B t
a .Encuentre la funci´on de densidad de τ.

222. Sea B t : t 0 un movimiento Browniano unidimensional est´andar.
Encuentre la distribuci´on conjunta de las variables M t y X t definidas
como sigue:

M t sup B s
0 s t
y X t M t B t .

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