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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 221 — #227
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7.9. Convergencia de martingalas 221

Si el conjunto de cruces es vac´ıo, se define D n a, b 0. La letra D usada
para denotar este n´umero proviene del t´ermino en ingl´es Downcrossing.
Observe que para cada n,la funci´on D n a, b : Ω 0, 1,... es una variable
aleatoria, pues para cada entero k,el conjunto D n a, b k τ 2k
n es medible. De esta manera se tiene la sucesi´on mon´otona de variables
aleatorias D 1 a, b D 2 a, b que es convergente al n´umero total de
cruces
D a, b sup k 1: τ 2k .

En la demostraci´on que se presenta a continuaci´on sobre la convergencia
de submartingalas se hace uso de este n´umero de cruces. Empezaremos
estimando la esperanza de D n a, b .

Proposici´on 7.5 Sea X n : n 0 una submartingala. Entonces

1 1
E D n a, b E X n b sup E X n b .
b a b a n

Demostraci´on. Defina la sucesi´on de eventos A k τ k n para k
1, 2,... Por la monoton´ıa de los tiempos de paro (7.3) se tiene que A 1
A 2 Eventualmente los elementos de esta sucesi´on son el conjunto
vac´ıo, pues no pueden efectuarse demasiados cruces en un tiempo limitado
n.Observe adem´as que cuando ocurre elevento A 2k 1 el proceso al tiempo
τ 2k 1 se encuentra por arriba de b,mientras que cuando ocurre A 2k ,el
proceso al tiempo τ 2k se encuentra por abajo de a.A continuaci´on usaremos
la propiedad de submartingala aplicada a los tiempos de paro acotados
,es decir,
τ 2k 1 τ 2k n.Tenemos entonces que E X τ 2k 1 E X τ 2k

dP dP.
X τ 2k 1 X τ 2k
Ω Ω
Separando ambas regiones de integraci´on como Ω A 2k 1 A c ,se tiene
2k 1
que

dP dP dP dP.
X τ 2k 1 X τ 2k 1 X τ 2k X τ 2k
A 2k 1 A c A 2k 1 A c
2k 1 2k 1
Ahora observe que sobre el conjunto A c ,se cumple que τ 2k 1 τ 2k n.
2k 1
Por lo tanto, la segunda y cuarta integral coinciden y podemosomitirlas de

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