Page 17 - flip-procesos

✐ ✐

“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 9 — #15
✐ ✐

2.1. Caminatas aleatorias 9

Demostraci´on. Para la esperanza tenemos que:

n
E X n E ξ i nE ξ n p q .
i 1

Por otro lado, como E ξ 2 p q 1y E ξ p q,se tiene que
Var ξ 1 p q 2 4pq.Por lo tanto,
n
Var X n Var ξ i n Var ξ 4npq.
i 1
!

Analicemos estas dos primeras f´ormulas. Si p q,es decir,sila cami-
nata toma pasos a la derecha con mayor probabilidad, entoncesel estado
promedio despu´es de n pasos es un n´umero positivo, es decir, su compor-
tamiento promedio es tender hacia la derecha, lo cual es intuitivamente
claro. An´alogamente, si p q,entonces el estado final promedio de la ca-
minata despu´es de n pasos es un n´umero negativo, es decir, en promedio la
caminata tiende a moverse hacia la izquierda. En ambos casos la varianza
crece conforme el n´umero de pasos n crece, eso indica que mientras mayor
es el n´umero de pasos que se dan, mayor es la incertidumbre acerca de la
posici´on final del proceso. Cuando p q se dice que la caminata es asim´etri-
ca. Cuando p q 1 2se dice que la caminata es sim´etrica, y en promedio
el proceso se queda en su estado inicial, pues E X n 0, sin embargo, para
n,y es sencillo demostrar que ese
tal valor de p la varianza es Var X n
valor es el m´aximo de la expresi´on 4npq,para p 0, 1 .

Probabilidades de transici´on
Como hemos supuesto que la caminata inicia en cero, es intuitivamente
claro que despu´es de efectuar un n´umero par de pasos el proceso s´olo puede
terminar en una posici´on par, y si se efect´uan un n´umero impar de pasos la
posici´on final s´olo puede ser un n´umero impar. Adem´as, es claro que despu´es
de efectuar n pasos, la caminata s´olo puede llegar a una distancia m´axima
de n unidades, a la izquierda o a la derecha. Teniendo esto en mente, en el
siguiente resultado se presenta la distribuci´on de probabilidad de la variable
X n .

✐ ✐

✐ ✐