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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 7 — #13
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Cap´ıtulo 2
Caminatas aleatorias
En este cap´ıtulo se presenta una introducci´on breve al temade caminatas
aleatorias en una dimensi´on. Encontraremos la distribuci´on de probabilidad
de la posici´on de una part´ıcula que efect´ua una caminata aleatoria en Z,
yla probabilidad de retorno a la posici´on de origen. Se plantea y resuelve
despu´es el problema de la ruina del jugador, y se analizan algunos aspectos
de la soluci´on.
2.1. Caminatas aleatorias
Una caminata aleatoria simple sobre el conjunto de n´umeros enteros Z es
un proceso estoc´astico a tiempo discreto X n : n 0, 1,... que evoluciona
como se muestra en la Figura 2.1. Es
decir, iniciando en el estado 0, al si-
guiente tiempo el proceso puede pasar q p
al estado 1con probabilidad p,o
al estado 1con probabilidad q,en
2 1 0 1 2
donde p q 1. Se usa la misma regla
para los siguientes tiempos, es decir,
Figura 2.1
pasa al estado de la derecha con pro-
babilidad p,o alestado de la izquierda
con probabilidad q.Elvalor de X n es el estado del proceso al tiempo n.
Este proceso cambia de un estado a otro en dos tiempos consecutivos de
acuerdo con las probabilidades de transici´on que se muestran en la Figu-
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