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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 13 — #19
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2.1. Caminatas aleatorias 13

el primer regreso al origen. Este primero regreso puede darseen el
paso 1, o en el paso 2, ..., o en el ´ultimo momento, el paso n.Des-
pu´es de efectuado el primer regreso se multiplica por la probabilidad
de regresar al origen en el n´umero de pasos restantes. Observe que
el primer sumando es cero. Esta f´ormula ser´a demostrada m´as ade-
lante en el contexto de las cadenas de Markov, v´ease la f´ormula (3.2)
en la p´agina 49. Usaremos (2.4) para encontrar la funci´on generado-
ra de probabilidad de la colecci´on de n´umeros f 0 ,f 1 ,f 2 ,... ,es decir,
encontraremos que
k
G t f k t .
k 0
n
Multiplicando (2.4) por t ,sumando y cambiando el orden de las
sumas se obtiene que

n
p n t n f k p n k t n
n 1 n 1 k 0
f k p n k t n
k 0 n k

f k t k p n k t n k
k 0 n k
n
G t p n t .
n 0
Por lo tanto,
n
p n t n 1 G t p n t . (2.5)
n 0 n 0
Para encontrar G t se necesita encontrar una expresi´on para la suma
que aparece en la ´ultima ecuaci´on, y que no es otra cosa sino la funci´on
generadora de los n´umeros p 0 ,p 1 ,p 2 ,... Haremos esto a continuaci´on.
c) Para el an´alisis que sigue necesitamos recordar que para cualquier
n´umero real a ypara cualquier entero n,se tiene elcoeficiente binomial
a a a 1 a n 1
. (2.6)
n n!

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