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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 8 — #14
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8 2. Caminatas aleatorias

ra 2.1, v´alidas para cualquier n 0, y para cualesquiera enteros i y j.Estas
probabilidades se pueden escribir de la forma siguiente:

p si j i 1,
P X n 1 j X n i q si j i 1,
0otro caso.
Como estas probabilidades no dependen de n,se dice que son homog´eneas
en el tiempo, es decir, son las mismas para cualquier valor de n.Apartir
de estas consideraciones, es intuiti-
vamente claro que este proceso
cumple la propiedad de Markov,
es decir, el estado futuro del pro- X n ω
ceso depende ´unicamente del esta-
do presente y no de los estados
previamente visitados. Una posible
n
trayectoria de este proceso se mues-
tra en la Figura 2.2. Una camina-
ta aleatoria puede tambi´en definirse
de la forma siguiente: sea ξ 1 , ξ 2 ,... Figura 2.2
una sucesi´on de variables aleatorias
independientes e id´enticamente dis-
tribuidas. Por la id´entica distribuci´on denotaremos a cualquiera de ellas
mediante la letra ξ sin sub´ındice. Supondremos que P ξ 1 p y
P ξ 1 q,en donde, como antes, p q 1. Entonces para n 1se
define
X n : X 0 ξ 1 ξ n .

Sin p´erdida de generalidad supondremos que X 0 0. Nos interesa encon-
trar algunas propiedades de la variable X n ,y de su comportamiento como
funci´on de n.Por ejemplo, a partir de la expresi´on anterior, es inmediato
encontrar su esperanza y varianza.

Proposici´on 2.1 Para cualquier entero n 0,

1. E X n n p q .

2. Var X n 4npq.

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