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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 10 — #16
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10 2. Caminatas aleatorias

Proposici´on 2.2 Para cualesquiera n´umeros enteros x y n tales que n
x n,y para el caso cuando x y n son ambos pares o ambos impares,

n 1 n x 1 n x
P X n x X 0 0 1 p 2 q 2 . (2.1)
2 n x
Para valores de x y n que no cumplen las condiciones indicadas la probabi-
lidad en cuesti´on vale cero.

Demostraci´on. Suponga que se observa la posici´on de la caminata des-
pu´es de efectuar n pasos. Sean R n y L n el n´umero de pasos realizados hacia
L n ,
la derecha y hacia la izquierda, respectivamente. Entonces X n R n
yadem´as n R n L n .Sumando estas dos ecuaciones y substituyendo la
n
expresi´on X n i 1 ξ i se obtiene
n
1 1
R n n X n 1 ξ i .
2 2
i 1
Esta ecuaci´on es la identidad clave para obtener el resultado buscado. Ob-
serve que esta f´ormula arroja un valor entero para R n cuando n y X n son
ambos pares o ambos impares. Como las variables independientes ξ i toman
los valores 1y 1con probabilidades p y q respectivamente, entonces las
variables independientes 1 1 ξ i toman los valores 1 y 0 con probabilida-
2
des p y q.Esto lleva a la conclusi´on de que la variable R n tiene distribuci´on
binomial n, p .Por lo tanto,para cualquier valor de x que cumpla las condi-
ciones enunciadas se tiene que
1
P X n x X 0 0 P R n n x
2
n 1 n x 1 n x
p 2 q 2 .
1 n x
2
!

En particular, cuando la caminata es sim´etrica, es decir, cuando p 1 2, y
con las mismas restricciones para n y x ( n x n,ambos pares o ambos
impares) se tiene la expresi´on
n 1
P X n x X 0 0 . (2.2)
1 n x 2 n
2

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