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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 14 — #20
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14 2. Caminatas aleatorias

Observe que en el numerador hay n factores. Este n´umero es una
generalizaci´on del coeficiente binomial usual y aparece en la siguiente
expansi´on binomial infinita v´alida para t 1,

a n
a
1 t t . (2.7)
n
n 0
En particular y como una aplicaci´on de (2.6) se tiene que

2n 2n 2n 1 2n 2 3 2 1
n n! n!
n
2 n! 2n 1 2n 3 5 3 1
n! n!
n n
2 2 2n 1 2n 3 5 3 1
n! 2 2 2 2 2
n n
2 2 1 3 5 3 1
1 n n n
n! 2 2 2 2 2
1 2
4 n . (2.8)
n

d) Usando (2.7) y (2.8) podemos ahora encontrar una expresi´on cerrada
para la funci´on generadora de la colecci´on de n´umeros p 0 ,p 1 ,p 2 ,...

2n
n n 2n
p n t n p q t
n
n 0 n 0
1 2
n n 2n
4 n p q t
n
n 0
1 2 2 n
4pqt
n
n 0
1 4pqt 2 1 2 . (2.9)

e) Substituyendo (2.9) en (2.5) se llega a la igualdad

1 4pqt 2 1 2 1 G t 1 4pqt 2 1 2 .

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