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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 12 — #18
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12 2. Caminatas aleatorias

´ultimo caso demostraremos adem´as que el n´umero de pasos promedio para
regresar al origen es, sin embargo, infinito. La demostraci´on es un tanto
t´ecnica y hace uso de las funciones generadoras de probabilidad. Como este
cap´ıtulo es introductorio, tal vez sea mejor recomendar al lector, cuando se
trate de una primera lectura, omitir los detalles de esta demostraci´on.

Proposici´on 2.4 Para una caminata aleatoria sobre Z,la probabilidad de
un eventual regreso al punto de partida es

1 si p q,
1 p q
1 si p q.
Es decir, s´olo en el caso sim´etrico, p q,setienela certeza de un eventual
retorno, sin embargo el tiempo promedio de regreso en tal casoes infinito.

Demostraci´on. Para demostrar estas afirmaciones utilizaremos los si-
guientes elementos:

a) Para cada n 0denotaremos por p n ala probabilidadde que la

caminata se encuentre en el estado 0 al tiempo n,es decir, p n
P X n 0 X 0 0 .Esta probabilidad es distinta de cero s´olo cuando
n es un n´umero par. Naturalmente p 0 1. Denotaremos tambi´en por
f k alaprobabilidad de que la caminata visite el estado0 por primera
vez en el paso k 0. El uso de la letra f proviene el t´ermino en ingl´es
0. Observe que en t´erminos
first.Por conveniencia se define f 0
de las probabilidades f k ,la probabilidad de que la caminata regrese
eventualmente al origen es k 0 f k .Esta serie es convergente, pues
se trata de la suma de probabilidades de eventos disjuntos, y por lo
tanto a lo sumo vale uno. Demostraremos que en el caso sim´etrico
la suma vale uno. Recordemos nuevamente que los valores de f k son
estrictamente positivos s´olo para valores pares de k distintos de cero.
b) No es dif´ıcil comprobar que se cumple la siguiente igualdad

n
p n f k p n k . (2.4)
k 0
En esta expresi´on simplemente se descompone la probabilidad de re-
greso al origen, p n ,en las distintas posibilidades en donde se efect´ua

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