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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 6 — #12
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6 1. Ideas preliminares

Procesos de L`evy
Se dice que un proceso estoc´astico a tiempo continuo X t : t 0 es un
proceso de L`evy si sus incrementos son independientes y estacionarios. M´as
adelante veremos que tanto el proceso de Poisson como el movimiento Brow-
niano son ejemplos de este tipo de procesos.

Procesos Gausianos
Se dice que un proceso estoc´astico a tiempo continuo X t : t 0 es un
proceso Gausiano si para cualesquiera colecci´on finita de tiempos t 1 ,... ,t n ,
tiene distribuci´on normal o Gausiana multivaria-
el vector X t 1 ,... ,X t n
da. Nuevamente, el movimiento Browniano es un ejemplo de estetipo de
procesos.

En el presente texto el lector encontrar´a una descripci´on introductoria a
algunos de estos tipos de procesos y varios resultados elementales al respecto.

1.1. Ejercicios

1. Sean X 0 ,X 1 ,... los resultados de una sucesi´on de ensayos indepen-
dientes Bernoulli. Determine si el proceso X n : n 0, 1,...

a) tiene incrementos independientes.
b) tiene incrementos estacionarios.
c) es una martingala.
d) cumple la propiedad de Markov.
2. Sea X una variable aleatoria con distribuci´on Ber p .Para cada t 0
defina la variable
cos πt si X 0,
X t
sin πt si X 1.
a) Dibuje todas las trayectorias del proceso X t : t 0 .
b) Calcule la distribuci´on de X t .
c) Calcule E X t .

3. Demuestre que todo proceso a tiempo discreto X n : n 0, 1,... con
incrementos independientes cumple la propiedad de Markov.

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